Question

5．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足f′（x）＜2，则不等式f（x+1）-ln（x+2）-2＞e^x+1+3x的解集为（　　）

• A． （-2，-1）
• B． （-1，+∞）
• C． （-1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 设g（x）=f（x+1）-ln（x+2）-2-e^x+1-3x，x＞-2，求导g′（x）=f′（x+1）-$\frac{1}{x+2}$-e^x+1-3，由f′（x）＜2，f′（x+1）-3＜0，由-$\frac{1}{x+2}$-e^x+1＜0恒成立，因此g′（x）＜0恒成立，则g（x）在（-2，+∞）单调递减，根据函数的奇偶性可知f（0）=0，可得g（-1）=0，则原不等式可转化成，g（x）=g（-1），由函数的单调性即可求得-2＜x＜-1．

解答 解：由题意可知：设g（x）=f（x+1）-ln（x+2）-2-e^x+1-3x，x＞-2，
求导g′（x）=f′（x+1）-$\frac{1}{x+2}$-e^x+1-3，
由f′（x）＜2，即f′（x）-2＜0，
f′（x+1）-3＜0，
由函数的单调性可知：-$\frac{1}{x+2}$-e^x+1＜0恒成立，
∴g′（x）＜0恒成立，
∴g（x）在（-2，+∞）单调递减，
由y=f（x）为奇函数，则f（0）=0
∴g（-1）=f（0）-ln1-2-e⁰+3=0，
由f（x+1）-ln（x+2）-2＞e^x+1+3x，即g（x）＞0=g（-1），
由函数的单调递减，
∴-2＜x＜-1，
∴不等式f（x+1）-ln（x+2）-2＞e^x+1+3x的解集（-2，-1），
故选A．

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系，考查利用导数求函数的单调性，考查不等式的解集的求法，考查转化思想，属于中档题．