Question

．如图(一)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC，E为AD中点，沿CE折叠，使平面DEC⊥平面ABCE，如图(二)．

(1)证明：AC⊥BD

(2)求DE与平面ACD所成角的余弦值．

Answer 1

方法1：(1)证明：由题意知DE⊥平面ABCE，则DE⊥AC，

连接BE，由四边形ABCE是正方形可知AC⊥BE.

又DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面DEB，∴AC⊥平面DEB.

又DB⊂平面DEB.∴AC⊥BD.

(2)连接BE交AC于O，连接DO，

由(1)知AC⊥平面DEB，AC⊂平面ADC，

∴平面EDO⊥平面ADC，且交线为DO.

∴DE在平面ADC内的射影为DO.

∴∠EDO就是DE与平面ACD所成的角．

在△DEO中，∠DEO＝90°，

设BC＝a，则EO＝a，DE＝a，DO＝a，

∴cos∠EDO＝＝，

即DE与平面ACD所成角的余弦值为.

方法2：

如图所示，以E为原点，EC、EA、ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系E－xyz，

令AB＝a，则E(0,0,0)，C(a,0,0)，A(0，a,0)，D(0,0，a)，B(a，a,0)，＝(a，－a,0)，＝(0，－a，a)，＝(0,0，a)，＝(a，a，－a)．

(1)证明：∵＝(a，－a,0)·(a，a，－a)＝0，

∴，即AC⊥DB.

(2)设平面ACD的法向量n＝(x，y,1)，

则

∴n＝(1,1,1)，

设DE与平面ACD所成的角为θ，

则sinθ＝，∴cosθ＝＝，

∴DE与平面ACD所成角的余弦值为.