Question

12．已知函数f（x）=e^xsinx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果对于任意的$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，f（x）≥kx恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+e^xcosx，$x∈[{-\frac{2015π}{2}，\frac{2017π}{2}}]$，过点$M（{\frac{π-1}{2}，0}）$作函数F（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{x_n}，求数列{x_n}的所有项之和的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令g（x）=f（x）-kx，问题转化为g（x）_min≥0，令h（x）=e^x（sinx+cosx），通过讨论k的范围求出函数g（x）的单调性，从而确定a的范围即可；
（3）设出切点坐标，求出切线方程，分别令y₁=tanx，${y_2}=2（{x-\frac{π}{2}}）$，得到这两个函数的图象均关于点$（{\frac{π}{2}，0}）$对称，从而求出数列{x_n}的所有项之和的值．

解答 解：（1）∵f'（x）=e^x（sinx+cosx）=$\sqrt{2}{e^x}sin（{x+\frac{π}{4}}）$，
∴f（x）的增区间为$[{2kπ-\frac{π}{4}，2kπ+\frac{3π}{4}}]（{k∈Z}）$；减区间为$[{2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{7π}{4}}]（{k∈Z}）$．
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx
要使f（x）≥kx恒成立，只需当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，g（x）_min≥0，
∵g'（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），则h'（x）=2e^xcosx≥0对$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$恒成立，
∴h（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上是增函数，则$h（x）∈[{1，{e^{\frac{π}{2}}}}]$，
①当k≤1时，g'（x）≥0恒成立，g（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上为增函数，
∴g（x）_min=g（0）=0，∴k≤1满足题意；
②当$1＜k＜{e^{\frac{π}{2}}}$时，g'（x）=0在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上有实根x₀，h（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上是增函数，
则当x∈[0，x₀）时，g'（x）＜0，∴g（x₀）＜g（0）=0不符合题意；
③当$k≥{e^{\frac{π}{2}}}$时，g'（x）≤0恒成立，g（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上为减函数，
∴g（x）＜g（0）=0不符合题意∴k≤1，即k∈（-∞，1]．
（3）∵F（x）=f（x）+e^xcosxe^x（sinx+cosx）∴F'（x）2e^xcosx
设切点坐标为$（{{x_0}，{e^{x_0}}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）}）$，则切线斜率为$F'（{x_0}）=2{e^{x_0}}cos{x_0}$
从而切线方程为$y-{e^{x_0}}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）$=$2{e^{x_0}}cos{x_0}（{x-{x_0}}）$，
∴$-{e^{x_0}}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）$$2{e^{x_0}}cos{x_0}（{\frac{π-1}{2}-{x_0}}）$$?tan{x_0}=2（{{x_0}-\frac{π}{2}}）$，
令y₁=tanx，${y_2}=2（{x-\frac{π}{2}}）$，这两个函数的图象均关于点$（{\frac{π}{2}，0}）$对称，
则它们交点的横坐标也关于$x=\frac{π}{2}$对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{x_n}的项也关于$x=\frac{π}{2}$成对出现，
又在$[{-\frac{2015π}{2}，\frac{2017π}{2}}]$共有1008对，每对和为π；
∴S=1008π．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想以及三角函数的性质，是一道综合题．