Question

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²-4n-5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=|a_n|，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²-4n-5，可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，再检验当n=1时，a₁是否适合上式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=|a_n|=|2n-5|，分n=1、n=2、n≥3三类讨论，分别求得数列{b_n}的前n项和T_n，最后综合起来即可求．

解答 解：（1）∵S_n=n²-4n-5，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n-5-[（n-1）²-4（n-1）-5]=2n-5，
又当n=1时，a₁=-8不适合上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-8，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）∵b_n=|a_n|，数列{b_n}的前n项和为T_n，
当n=1时，b₁=|a₁|=8，T₁=8；
当n=2时，b₂=|a₂|=1，T₂=8+1=9；
∵n≥3时，a_n=2n-5≥1＞0，
∴b_n=|a_n|=a_n=2n-5，
∴T_n=8+1+（1+3+…+2n-5）=9+$\frac{[1+（2n-5）]（n-2）}{2}$=（n-2）²+9=n²-4n+13．
综上，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{8，n=1}\\{9，n=2}\\{{n}^{2}-4n+13，n≥3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的求和，考查数列递推关系式、分类法求和的运用，突出考查转化思想与分类讨论思想的综合运用，属于中档题．