Question

2．若一圆经过直线l：2x+y+4=0和圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的交点，求：
（1）面积最小的圆的方程；
（2）过点（2，-1）的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，弦长为直径的圆的面积最小，由垂径定理求出半弦长，就是最小的圆的半径，再联立直线方程和圆的方程，利益根与系数的关系求出圆心坐标，即可求得面积最小的圆的方程；
（2）设出设经过直线l：2x+y+4=0和圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的圆系方程，代入已知点的坐标求得λ，则圆的方程可求．

解答 解：（1）∵圆x²+y²+2x-4y+1=0的方程可化为（x+1）²+（y-2）²=4．
∴圆心坐标为（-1，2），半径为r=2；
∴圆心到直线2x+y+4=0的距离为d=$\frac{|-2+2+4|}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$．
设直线2x+y+4=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点为A，B．则|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{4-（\frac{4}{\sqrt{5}}）^{2}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$．
∴过点A，B的最小圆半径为$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+4=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-4y+1=0}\end{array}\right.$，得5x²+26x+33=0，
故${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{26}{5}$，则圆心的横坐标为$-\frac{13}{5}$，纵坐标为2×（-$\frac{13}{5}$）-4=$-\frac{46}{5}$，
∴最小圆的圆心为（-$\frac{13}{5}$，$-\frac{46}{5}$），
∴最小圆的方程为（x+$\frac{13}{5}$）²+（y+$\frac{46}{5}$）²=$\frac{4}{5}$；
（2）设经过直线l：2x+y+4=0和圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的交点的圆的方程为x²+y²+2x-4y+1+λ（2x+y+4）=0．
∵点（2，-1）在圆上，∴2²+（-1）²+2×2-4×（-1）+1+λ（4-1+4）=0，
解得：λ=-2．
∴所求圆的方程为：x²+y²+2x-4y+1+-2（2x+y+4）=0．
即x²+y²-2x-6y-7=0．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，考查数学转化思想方法，训练了圆系方程的应用，是中档题．