Question

5．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+3cosα\\ y=-3+3sinα\end{array}$（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ-3=0．
（1）分别写出曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若曲线C₁与曲线C₂交于P、Q两点，求△POQ的面积．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+3cosα\\ y=-3+3sinα\end{array}$（α为参数），利用平方关系消去α可得普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ-3=0，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）圆心（2，-3）到直线的距离d，可得弦长|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．△POQ的高h为一点到直线的距离，可得S_△POQ=$\frac{1}{2}$h|PQ|．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+3cosα\\ y=-3+3sinα\end{array}$（α为参数），利用平方关系可得：（x-2）²+（y+3）²=9．
曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ-3=0，利用互化公式可得直角坐标方程：x-2y-3=0．
（2）圆心（2，-3）到直线的距离d=$\frac{|2-2×（-3）-3|}{\sqrt{1+4}}$=$\sqrt{5}$．∴弦长|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=4．
△POQ的高h为一点到直线的距离，∴h=$\frac{|-3|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$h|PQ|=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{5}}{5}$×4=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．