题目内容
8．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{10}cosα\\ y=\sqrt{10}sinα\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．
分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{10}cosα\\ y=\sqrt{10}sinα\end{array}\right.$（α为参数），利用平方关系可得普通方程．直线l的极坐标方程为$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=2$\sqrt{2}$，利用互化公式可得直角坐标方程．．
（2）利用点到直线的距离公式可得圆心（-2，0）到直线的距离d，可得点P到直线l的距离d的取值范围是[d-r，d+r]．
解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{10}cosα\\ y=\sqrt{10}sinα\end{array}\right.$（α为参数），
利用平方关系可得：（x+2）2+y2=10．
直线l的极坐标方程为$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}$，
展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=2$\sqrt{2}$，可得直角坐标方程：x+y-4=0；
（2）圆心（-2，0）到直线的距离d=$\frac{|-2+0-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∴点P到直线l的距离d的取值范围是$[3\sqrt{2}-\sqrt{10}，3\sqrt{2}+\sqrt{10}]$．
点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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