Question

8．如图所示，棱长为a的正方体，N是棱A₁D₁的中点；
（I）求直线AN与平面BB₁D₁D所成角的大小；
（Ⅱ）求B₁到平面ANC的距离．

Answer 1

分析 （1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面BB₁D₁D的一个法量，利用和此法向量夹角求解．向量知识求解．
（Ⅱ）求出平面ANC的一个方法向量，B₁到平面ANC的距离等于$\overrightarrow{{B}_{1}C}$在此法向量方向上投影的绝对值．利用向量知识求解．

解答 解：（I）以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则A（a，0，0），N（$\frac{a}{2}$，0，a），C（0，a，0），B₁ （a，a，a）
易知平面BB₁D₁D的一个法量$\overrightarrow{AC}$=（-a，a，0）
  $\overrightarrow{AN}$=（-$\frac{a}{2}$，0，a），
设直线AN与平面BB₁D₁D所成角为θ，
则sinθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴直线AN与平面BB₁D₁D所成角为arcsin$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（Ⅱ）设平面ANC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-ax+ay=0}\\{-\frac{ax}{2}+az=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-a，0，-a），
∴B₁到平面ANC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=a．

点评 本题考查空间直线和平面所成角的计算，点面距离求解，考查空间想象能力、计算能力，正确运用空间向量是关键．