Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=ln（n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=e^a_n（e为自然对数的底数），定义：$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=b₁•b₂•b₃…b_n，求$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k．

Answer 1

分析 （1）当n=1求得a₁，当n≥2，由a_n=S_n-S_n-1，代入验证当n=1是否成立，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）求得数列{b_n}通项公式，根据新定义即可求得$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k的值．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=ln2；
当n≥2且n∈N^*时，
a_n=S_n-S_n-1=ln（n+1）-lnn，
=ln$\frac{n+1}{n}$，
a₁=ln2，等式成立，
∴a_n=ln$\frac{n+1}{n}$，
（2）b_n=e^a_n=$\frac{n+1}{n}$，
$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=$\frac{2}{1}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{4}{3}$×…×$\frac{n+1}{n}$=n+1，
∴$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=n+1．

点评 本题考查求数列的通项公式的方法，考查数列应用，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．