Question

18．已知点$A（\sqrt{5}\;，\;\;0）$和曲线$y=\sqrt{\frac{x^2}{4}-1}（2\;≤\;x\;≤\;2\sqrt{5}）$上的点P₁，P₂，…，P_n．若|P₁A|，|P₂A|，…，|P_nA|成等差数列且公差$d∈（\frac{1}{5}\;，\;\;\frac{1}{{\sqrt{5}}}）$，则n的最大值为14．

Answer 1

分析 确定曲线是双曲线的一段，结合等差数列的通项公式和性质，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：题设的曲线是如下双曲线的一段，即$\frac{1}{4}{x^2}-{y^2}=1（2\;≤\;x\;≤\;2\sqrt{5}\;，\;\;y\;≥\;0）$．
$A（\sqrt{5}\;，\;\;0）$是它的右焦点，（其中直线l为右准线$x=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，点$P（2\sqrt{5}\;，\;\;2）$，离心率$e=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$）．
易知$|{P_n}A{|_{min}}=\sqrt{5}-2$，$|{P_n}A{|_{max}}=e|PH|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}（2\sqrt{5}-\frac{4}{{\sqrt{5}}}）=3$．
依题意，可设等差数列的第一项${a_1}=\sqrt{5}-2$，第n项a_n=3，
则$3=（\sqrt{5}-2）+（n-1）d$．得$d=\frac{{5-\sqrt{5}}}{n-1}（n＞1）$．
由题意，$\frac{1}{5}＜d＜\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，即$\frac{1}{5}＜\frac{{5-\sqrt{5}}}{n-1}＜\frac{1}{{\sqrt{5}}}$．
得$5\sqrt{5}-4＜n＜26-5\sqrt{5}$．
而$7=5×2.2-4＜5\sqrt{5}-4$．且$26-5\sqrt{5}＜26-5×2.2=15$．
则7＜n＜15，
故n的最大可取14．
故答案为：14

点评 本题主要考查双曲线的性质和等差数列的通项公式的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．