Question

已知向量

m

=（cosωx，sinωx），

n

（cosωx，

3

cosωx）（ω＞0），函数f（x）=

m

•

n

的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a+c=8，b=7，f（

B

2

）=

3

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）首先利用已知条件利用向量的坐标和向量的数量积求出函数的关系式，进一步通过三角函数关系式的恒等变换，把函数变形成正弦型函数，进一步利用函数的周期求出函数的解析式，最后求出函数的单调区间．
（2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．

解答： 解：（1）向量

m

=（cosωx，sinωx），

n

=（cosωx，

3

cosωx）
则：f（x）=

m

•

n

=cos2ωx+

3

sinωxcosωx
=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

 由最小正周期是π及ω＞0
得到：T=

2π

2ω

=π
解得：ω=1
所以：f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
所以函数的单调递增区间为：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）
（2）由已知f（

B

2

）=

3

2

得：sin(B+

π

6

)+

1

2

=

3

2

解得：sin(B+

π

6

)=1
由于B是三角形的内角，
所以：B=

π

3

由于：a+c=8，b=7，
所以：b²=a²+c²-2accosB
=（a+c）²-3ac
所以：ac=5
S△ABC=

1

2

acsinB=

5 3

4

点评：本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，余弦定理的应用，三角形面积的应用，属于基础题型．