Question

11．已知a＜0，则x₀满足关于x的方程ax=b的充要条件是（　　）

• A． ?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax${\;}_{0}^{2}$-bx₀
• B． ?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≤$\frac{1}{2}$ax${\;}_{0}^{2}$-bx₀
• C． ?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax${\;}_{0}^{2}$-bx₀
• D． ?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≤$\frac{1}{2}$ax${\;}_{0}^{2}$-bx₀

Answer 1

分析 a＜0，x₀满足关于x的方程ax=b，则x₀=$\frac{b}{a}$．配方$\frac{1}{2}a{x}^{2}-bx$=$\frac{1}{2}a$$（x-\frac{b}{a}）^{2}$-$\frac{{b}^{2}}{2a}$．利用二次函数的单调性即可判断出结论．

解答 解：∵a＜0，x₀满足关于x的方程ax=b，则x₀=$\frac{b}{a}$．
$\frac{1}{2}a{x}^{2}-bx$=$\frac{1}{2}a$$（x-\frac{b}{a}）^{2}$-$\frac{{b}^{2}}{2a}$．
∵a＜0，∴当x=$\frac{b}{a}$时，$\frac{1}{2}a{x}^{2}-bx$有最大值，∴$\frac{1}{2}a{x}^{2}-bx$≤$\frac{1}{2}a{x}_{0}^{2}$-bx₀．
∴a＜0，则x₀满足关于x的方程ax=b的充要条件是$\frac{1}{2}a{x}^{2}-bx$≤$\frac{1}{2}a{x}_{0}^{2}$-bx₀．
故选：D．

点评 本题考查了二次函数的单调性、一次方程、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．