Question

8．已知{a_n}，{b_n}满足：a₁=2p，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{{p}^{2}}{{a}_{n}}$），b_n=$\frac{{a}_{n}+p}{{a}_{n}-p}$（n∈N₊，p＞0），求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知推导出b_n+1=${{b}_{n}}^{2}$，b₁=3，由此能求出{b_n}的通项公式．

解答 解：∵{a_n}，{b_n}满足：a₁=2p，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{{p}^{2}}{{a}_{n}}$），b_n=$\frac{{a}_{n}+p}{{a}_{n}-p}$（n∈N₊，p＞0），
∴b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}+p}{{a}_{n+1}-p}$=$\frac{\frac{{{a}_{n}}^{2}+{p}^{2}}{2{a}_{n}}+p}{\frac{{{a}_{n}}^{2}+{p}^{2}}{2{a}_{n}}-p}$=$\frac{（{a}_{n}+p）^{2}}{（{a}_{n}-p）^{2}}$=${{b}_{n}}^{2}$，
${b}_{1}=\frac{{a}_{1}+p}{{a}_{1}-p}$=$\frac{2p+p}{2p-p}$=3，
∴${b}_{2}={3}^{2}$，${b}_{3}=（{3}^{2}）^{2}={3}^{4}$=${3}^{{2}^{2}}$，${b}_{4}=（{3}^{4}）^{2}={3}^{8}$=${3}^{{2}^{3}}$，
…
∴${b}_{n}={3}^{{2}^{n-1}}$．
∴{b_n}的通项公式为${b}_{n}={3}^{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．