Question

如图，在多面体中，四边形是正方形，AC=AB=1，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值的大小.

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：【解析】
（1）取的中点，连结，，

，，，

四边形为平行四边形， 从而，

面，面

面 2分

，，

四边形为平行四边形，且

又是正方形，，且

故为平行四边形，

面，面面

，面面

面，面 6分

（2）四边形为正方形, ,

，

由勾股定理可得：， ，

，面 ，

，

由勾股定理可得：， 8分

故以为原点，以为轴建立坐标系如图，则，

，所以，，，.

设面的法向量为，由

，令，则

设面的法向量为，则

则，令，则 10分

所以

设二面角的平面角为，

所以 . 12分

考点：1、直线与平面平行的判定；2、求二面角的余弦值.