Question

1．已知定义在R上的奇函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，0≤x＜1}\\{{x}^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}，x≥1}\end{array}\right.$，则f（f（-1））=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1，若f（a）＞0，则实数a的取值范围是（-$\frac{9}{4}$，0）∪（$\frac{9}{4}$，+∞），．

Answer 1

分析 先根据函数的解析式求出f（-1）的值，可得f（f（-1））的值；根据函数的f（x）的图象，数形结合可得f（a）＞0时，实数a的取值范围．

解答 解：定义在R上的奇函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，0≤x＜1}\\{{x}^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}，x≥1}\end{array}\right.$，则 f（-1）=-f（1）=-（1-$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴f（f（-1））=f（$\frac{1}{2}$）=${2}^{-\frac{1}{2}}$-1=$\frac{1}{\sqrt{2}}$-1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-1．
当0≤a＜1时，由f（a）=2^-a-1＞0，∴2^-a＞2⁰，-a＞0，∴a＜0（舍去）．
当a≥1时，f（a）=$\sqrt{a}$-$\frac{3}{2}$＞0，可得$\sqrt{a}$＞$\frac{3}{2}$，∴a＞$\frac{9}{4}$．
再根据函数f（x）的图象关于原点对称，如图所示：
可得实数a的取值范围（-$\frac{9}{4}$，0）∪（$\frac{9}{4}$，+∞），
故答案为：（-$\frac{9}{4}$，0）∪（$\frac{9}{4}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的应用，求函数的值，解指数不等式，属于中档题．