Question

3．下图为函数y=Asin（ωx+φ）的一段图象，已知A＞0，ω＞0，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）写出函数y的解析式；
（2）若函数y=g（x）与y=Asin（ωx+φ）的图象关于直线x=2对称，求y=g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据最大值得出A，利用周期求出ω，特殊特殊点计算φ；
（2）利用函数的对称性得出g（x）=f（4-x）．

解答 解：（1）由函数图象可知y=Asin（ωx+φ）的最大值为2，周期为8，
∴A=2，$\frac{2π}{ω}=8$，即ω=$\frac{π}{4}$．
由图象可知当x=1时，函数y=Asin（ωx+φ）取得最大值2，
∴2sin（$\frac{π}{4}$+φ）=2，∴$\frac{π}{4}+$φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，于是φ=$\frac{π}{4}$+2kπ．
∵φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴φ=$\frac{π}{4}$．
∴y=2sin（$\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}$）．
（2）∵函数y=g（x）与y=f（x）=Asin（ωx+φ）的图象关于直线x=2对称，
∴g（x）=f（4-x）=2sin[$\frac{π}{4}$（4-x）+$\frac{π}{4}$]=-2sin（$\frac{π}{4}x$-$\frac{π}{4}$）．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，函数图象的变换，属于中档题．