Question

已知函数为奇函数.

（1）若，求函数的解析式；

（2）当时，不等式在上恒成立，求实数的最小值；

（3）当时，求证：函数在上至多一个零点.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明略

【解析】

试题分析：（1）已知函数的奇偶性求参数的值一般思路：利用函数的奇偶性的定义转化为，从而建立方程，使问题获解，但是在解决选择题，填空题时，利用定义去做相对麻烦，因此为使问题解决更快，可采用特值法；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1），（2）；（3）对于给出的具体函数的解析式的函数，证明或判断在某区间上的单调性有两种方法：一是利用函数单调性的定义：作差、变形，由的符号，在确定符号是变形是关键，掌握配方，提公因式的方法，确定结论；二是利用函数的导数求解；（4）单调函数最多只有一个零点.

试题解析：【解析】
函数为奇函数，

，即

又，

函数解析式

当时，

函数在都是单调递增，

在单调递增，

所以当时，

不等式在上恒成立，

实数的最小值为

证明：，设任取任意实数

，，即

，又，，即

在单调递减

又，结合函数图象知函数在上至多有一个零点

考点：1、利用函数的奇偶性求参数；2、恒成立的问题；3、利用定义证明函数的单调性