Question

15．已知函数f（x）=|2x+$\frac{1}{2}$|+a|x-$\frac{3}{2}$|．
（Ⅰ）当a=-1时，解不等式f（x）≤3x；
（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1-b|的解集为空集，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1时，不等式f（x）=|2x+$\frac{1}{2}$|-|x-$\frac{3}{2}$|≤3x，再等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）当a=2时，由题意可得，|1-b|＞7+1的解集为∅，即|1-b|≤8恒成立，即-8≤b-1≤8，由此求得实数b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，不等式f（x）=|2x+$\frac{1}{2}$|-|x-$\frac{3}{2}$|≤3x，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{4}}\\{-2x-\frac{1}{2}-（\frac{3}{2}-x）≤3x}\end{array}\right.$①；或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}≤x＜\frac{3}{2}}\\{2x+\frac{1}{2}-（\frac{3}{2}-x）≤3x}\end{array}\right.$②；或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{2}}\\{2x+\frac{1}{2}-（x-\frac{3}{2}）≤3x}\end{array}\right.$．
解①求得-$\frac{1}{2}$≤x＜-$\frac{1}{4}$，解②求得-$\frac{1}{4}$≤x＜$\frac{3}{2}$，解③求得x≥$\frac{3}{2}$，
故原不等式的解集为{x|x≥-$\frac{1}{2}$}．
（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1-b|，即 2（|2x+$\frac{1}{2}$|+2|x-$\frac{3}{2}$|）+1＜|1-b|，
即|4x+1|+|4x-6|+1＜|1-b|．
由于|4x+1|+|4x-6|≥|（4x+1）-（4x-6）|=7，∴|1-b|＞7+1的解集为∅，即|1-b|≤8恒成立，
∴-8≤b-1≤8，即-7≤b≤9，即要求的实数b的取值范围为[-7，9]．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．