Question

19．（1）设x＞-1，求函数y=x+$\frac{4}{x+1}$+6的最小值；
（2）求函数y=$\frac{x^2+8}{x-1}$（x＞1）的最值．

Answer 1

分析 （1）构造函数的表达式为：a+$\frac{1}{a}$类型，利用基本不等式求解函数的最小值即可．
（2）转化函数的构造函数的表达式为：a+$\frac{1}{a}$类型，利用基本不等式求解函数的最小值即可．

解答 解：（1）∵x＞-1，∴x+1＞0．
∴y=x+$\frac{4}{x+1}$+6=x+1+$\frac{4}{x+1}$+5≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}$+5=9，
当且仅当x+1=$\frac{4}{x+1}$，即x=1时，取等号．
∴x=1时，函数的最小值是9．
（2）y=$\frac{x^2+8}{x-1}$=$\frac{{x}^{2}-1+9}{x-1}$=（x+1）+$\frac{9}{x-1}$=（x-1）+$\frac{9}{x-1}$+2．
∵x＞1，∴x-1＞0．
∴（x-1）+$\frac{9}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+2=8．
当且仅当x-1=$\frac{9}{x-1}$，即x=4时等号成立，

点评 本题考查基本不等式在最值中的应用，注意基本不等式成立的条件，考查转化思想以及计算能力．