Question

11．已知f（x）是定义在区间[1，4]上的函数，若对[1，4]上的任意的两个自变量x₁，x₂，总有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则不等式f（x+2）＞f（3-2x）的解集为[-$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 判断函数f（x）为减函数，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行求解即可

解答 解：对[1，4]上的任意的两个自变量x₁，x₂，总有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴f（x）在[1，4]为减函数，
∵不等式f（x+2）＞f（3-2x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2＜3-2x}\\{1≤x+2≤4}\\{1≤3-2x≤4}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$），
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的单调性以及根据函数奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键．