Question

7．函数f（x）=2（a+sin2x）cosbx-sincx，x∈[0，π]
（1）若a=c=0，b=2求满足f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$所有x值的集合；
（2）若a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，c=3，求f（x）最大值和最小值；
（3）在（2）的条件下，分别将函数y=f（x）的图象上所有点的纵、横坐标缩短到原来的一半，得到函数y=g（x）的图象，求不等式g（x）＜$\frac{1}{2}$的解集．

Answer 1

分析 （1）化简得出f（x）=sin4x，利用特殊三角函数值，终边相同的角求解．
（2）利用两角和差公式得出f（x）=sinx+$\sqrt{3}$，根据正弦函数性质求解．
（3）利用函数图象变换得出函数g（x）=$\frac{1}{2}$sin2x$+\sqrt{3}$，解不等式即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2（a+sin2x）cosbx-sincx，x∈[0，π]．
∴a=c=0，b=2，
∴f（x）=sin4x，
∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin4x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
4x=2kπ$+\frac{π}{3}$，或4x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，∈Z
即x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{12}$，或x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{6}$，k∈Z
所有x值的集合：{x|x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{12}$，或x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{6}$，k∈Z}
（2）∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，c=3，
∴f（x）=sinx+$\sqrt{3}$，
∵-1≤sinx≤1，
∴$\sqrt{3}-1$≤f（x）≤$\sqrt{3}+1$
∴f（x）最大值为$\sqrt{3}+1$，最小值为：$\sqrt{3}-1$，
（3）f（x）=sinx+$\sqrt{3}$，的图象上所有点的纵、横坐标缩短到原来的一半，
得到函数g（x）=$\frac{1}{2}$sin2x$+\sqrt{3}$，
等式g（x）＜$\frac{1}{2}$，
sin2x＜1-2$\sqrt{3}$，无解，
∴解集为∅

点评 本题考查了三角函数的图象和性质，两角和差的公式，考查了学生的运算能力．