Question

5．设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且存在正数t，使得对所有的正整数n，都有$\sqrt{t{S_n}}=\frac{{t+{a_n}}}{2}$，则S_n=tn²．

Answer 1

分析 由原递推式化简可得S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²，分类讨论求得a₁=t，a_n-a_n-1=2t，从而求其通项公式代入可得S_n=tn² ．

解答 解：由$\sqrt{t{S_n}}=\frac{{t+{a_n}}}{2}$，得，S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²，
当n=1时，S₁=$\frac{1}{4t}$（t+a₁）²，
解得，a₁=t；
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²-$\frac{1}{4t}$（t+a_n-1）得，
a_n-a_n-1=2t；
∴{a_n}是首项为t，公差为2t的等差数列，故a_n=（2n-1）t．
将a_n=（2n-1）t代入S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²得，S_n=tn² ．
故答案为：tn²．

点评 本题考查数列递推式，考查了学生的化简运算能力及转化思想的应用，同时考查了函数的性质的判断与应用，是中档题．