Question

4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 求出直线与双曲线的交点坐标，代入双曲线方程，转化求解双曲线的离心率即可．

解答 解：直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，
可得交点坐标为：（c，2c），代入双曲线方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
可得e²-1=$\frac{4{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$，e＞1，可得e²-1=2e，解得e=$\sqrt{2}+1$．
故答案为：$\sqrt{2}+1$；

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．