Question

9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x₀，4）是C上一点，且|MF|=4．
（1）求点M的坐标和抛物线C的方程．
（2）若斜率为-1的直线与抛物线C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁≤0，y₂≤0，当△MAB面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，16=2px₀，x₀+$\frac{p}{2}$=4，解方程组，即可求点M的坐标和抛物线C的方程．
（2）设直线l的方程为y=-x+b，求出|AB|，M到直线的距离，可得△MAB面积，利用导数确定函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，16=2px₀，x₀+$\frac{p}{2}$=4，
∴x₀=2，p=4，
∴点M的坐标是（2，4），
抛物线C的方程为y²=8x．
（2）设直线l的方程为y=-x+b，即x=-y+b，
代入y²=8x，可得y²+8y-8b=0，
∴y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
∵y₁≤0，y₂≤0，∴y₁y₂≥0，
∴b≤0，
由判别式大于0，得b＞-2，∴b的取值范围是-2＜b≤0
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{64+32b}$=4$\sqrt{2}$•$\sqrt{4+2b}$，
∵M到直线的距离为$\frac{|6-b|}{\sqrt{2}}$，
∴△MAB面积S=$\frac{1}{2}$•4$\sqrt{2}$•$\sqrt{4+2b}$•$\frac{|6-b|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{（4+2b）（6-b）^{2}}$，
令y=（4+2b）（6-b）²，y′=（6b-4）（b-6），
∴函数在（-2，0]上单调递增，
∴b=0时，函数取得最大值y=144
∴△MAB面积最大值为24，直线l的方程为y=-x

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，确定三角形的面积是关键．