Question

2．O为△ABC内一点，且2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AD}$=t$\overrightarrow{AC}$，若B，O，D三点共线，则t的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OF}$=2$\overrightarrow{OE}$，因此点O是直线AE的中点．可得B，O，D三点共线，$\overrightarrow{AD}$=t$\overrightarrow{AC}$，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，点M为AC的中点．利用平行线的性质即可得出．

解答 解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．
∵2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OF}$=2$\overrightarrow{OE}$，
∴点O是直线AE的中点．
∵B，O，D三点共线，$\overrightarrow{AD}$=t$\overrightarrow{AC}$，∴点D是BO与AC的交点．
过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．
则OM=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{4}$BC，
∴$\frac{DM}{DC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$DM=\frac{1}{3}MC$，
∴AD=$\frac{2}{3}$AM=$\frac{1}{3}$AC，$\overrightarrow{AD}$=t$\overrightarrow{AC}$，
∴t=$\frac{1}{3}$．
另解：由2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴点O是直线AE的中点．
∵B，O，D三点共线，∴存在实数k使得$\overrightarrow{AO}$=k$\overrightarrow{AB}$+（1-k）$\overrightarrow{AD}$=k$\overrightarrow{AB}$+（1-k）t$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴k=$\frac{1}{4}$，（1-k）t=$\frac{1}{4}$，解得t=$\frac{1}{3}$．

故选：B．

点评 本题考查了向量三角形法则、平行线的性质定理、向量共线定理三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．