Question

2．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是AB的上一点，且AD=tAB．
（1）当t=$\frac{1}{2}$时，求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）若AB=AA₁，且t=$\frac{1}{3}$，求平面A₁CD与平面BB₁C₁C所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC₁ 交A₁C于E，则E为AC₁的中点，由三角形中位线定理可得ED∥BC₁，再由线面平行的判定可得BC₁∥平面A₁CD；
（2）取AC中点O，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OB所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，设AB=AA₁=2，求出所用点的坐标，进一步求出平面A₁CD与平面BB₁C₁C的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面A₁CD与平面BB₁C₁C与平面BB₁C₁C所成锐二面角的余弦值．

解答 （1）证明：
当t=$\frac{1}{2}$时，D为AB的中点，连接AC₁ 交A₁C于E，则E为AC₁的中点，
连接ED，则ED∥BC₁，
∵ED?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（2）解：取AC中点O，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OB所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
设AB=AA₁=2，则C（-1，0，0），A₁（1，2，0），D（$\frac{2}{3}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），B（0，0，$\sqrt{3}$），C₁ （-1，2，0），
$\overrightarrow{CD}=（\frac{5}{3}，0，\frac{\sqrt{3}}{3}）$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}=（-\frac{1}{3}，-2，\frac{\sqrt{3}}{3}）$，$\overrightarrow{CB}=（1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{C{C}_{1}}=（0，2，0）$．
设平面A₁CD的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=\frac{5}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-\frac{1}{3}x-2y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}=（-\frac{3}{5}，\frac{3}{5}，\sqrt{3}）$；
设平面BB₁C₁C的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=2y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，0，1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\frac{8\sqrt{3}}{5}}{\frac{\sqrt{93}}{5}×2}$=$\frac{4\sqrt{31}}{31}$．
∴平面A₁CD与平面BB₁C₁C所成锐二面角的余弦值为$\frac{4\sqrt{31}}{31}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．