Question

已知函数f(x)＝ (a∈R)．

(1)求f(x)的极值；

(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)＝1的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

（1）f(x)在x＝e1－a处取得极大值，f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值

（2）[1，＋∞)

【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，

令f′(x)＝0得x＝e1－a，

当x∈(0，e1－a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；

当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，

∴f(x)在x＝e1－a处取得极大值，f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值．

(2)①当e1－a<e2时，即a>－1时，

由(1)知f (x)在(0，e1－a)上是增函数，在(e1－a，e2]上是减函数，

∴f(x)max＝f(e1－a)＝ea－1，

又当x＝e－a时，f(x)＝0，

当x∈(0，e－a]时，f(x)<0；当x∈(e－a，e2]时，f(x)>0；

∵f(x)的图象与g(x)＝1的图象在(0，e2]上有公共点，

∴ea－1≥1，解得a≥1，又a>－1，所以a≥1.

②当e1－a≥e2时，即a≤－1时，f(x)在(0，e2]上是增函数，

∴f(x)在(0，e2]上的最大值为f(e2)＝，

所以原问题等价于≥1，解得a≥e2－2.

又a≤－1，所以此时a无解．

综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．