Question

1．如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF中，ED⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥BE；
（Ⅱ）求证：AC∥平面BEF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证AC⊥BE，只需AC⊥平面BDE，只需证明AC垂直平面BDE中的两条相交直线即可，由AC与BD是正方形ABCD的对角线，可证AC⊥BD，再由DE垂直AC所在的平面，得到AC垂直DE，而BD，DE是平面BDE中的两条相交直线，问题得证．
（Ⅱ）欲证AC∥平面BEF，只需证明AC平行平面BEF中的一条直线即可，利用中位线的性质证明OG平行DE且等于DE的一半，根据已知AF平行DE且等于DE的一半，所以OG与AF平行且相等，就可得到AC平行FG，而FG为平面BEF中的一条直线，问题得证．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AC．
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵BD∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE，
∵BE?平面BDE，
∴AC⊥BE．
（Ⅱ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，
∵OG为△BDE的中位线，
∴OG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，
∵AF∥DE，DE=2AF，
∴AF$\stackrel{∥}{=}$OG，
∴四边形AFGO是平行四边形，
∴FG∥AO．
∵FG?平面BEF，AO?平面BEF，
∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF

点评 本题主要考查了在空间几何体中证明线面垂直，线面平行，综合考查了学生的识图能力，空间想象力，计算能力，属于中档题．