Question

1．试比较3ⁿ-2ⁿ与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 只要比较3ⁿ与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，通过比较n=1，2，3，4，5时，两个代数式的大小，猜想结论，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：要比较3ⁿ-2ⁿ与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，
即比较：3ⁿ与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
当n=1时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=4，5时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²
猜想：当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
两边同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．

点评 本题考查了数学归纳法的应用，证明步骤的应用，归纳推理，考查计算能力，属于中档题．