Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c-b．
（1）求角A；
（2）若a是b，c的等比中项，判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知等式及正弦定理，结合两角和的正弦函数公式化简可得2cosAsinB=sinB，又sinB≠0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）由（1）知$A=\frac{π}{3}$，由余弦定理，得a²=b²+c²-bc．又a是b，c的等比中项，可得bc=b²+c²-bc即解得b=c，从而得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵2acosB=2c-b，由正弦定理，得2sinAcosB=2sinC-sinB…（2分）
而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB…（3分）
∴2cosAsinB=sinB，在△ABC，sinB≠0，故cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）△ABC是等边三角形，…（7分）
理由如下：由（1）可知$A=\frac{π}{3}$，在△ABC中，由余弦定理，得a²=b²+c²-bc．  …（9分）
由a是b，c的等比中项，得a²=bc，所以bc=b²+c²-bc即（b-c）²=0，从而b=c…（11分）
故△ABC是等边三角形．  …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，等比数列的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．