Question

（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率为，是椭圆的焦点，点，直线的斜率为，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与相交于、两点，当的面积最大时，求的方程．

Answer 1

（1） ;（2）.

【解析】

试题分析：（1） 由题意，∴ 又，可求，从而可求椭圆方程；

（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长及原点到直线的距离，求出面积表达式，再利用基本不等式求得的最大值及此时的的值即可.

试题解析：（1）设，由题意，

∴，又∵离心率，∴，

∴，椭圆的方程为；

（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，方程为，

联立直线与椭圆方程：，化简得：，

由，∴，

设，则 ，

∴，

坐标原点到直线的距离为，

，

令，则 ，

∵，当且仅当，即时等号成立，

∴，故当， 即，，

∴时的面积最大，

此时直线的方程为

考点：椭圆的定义、几何性质，直线与椭圆位置关系，基本不等式.