Question

1．设点M（x₀，1），若在圆O：x²+y²=1上存在两个不同的点N_i（i=1，2），使得∠OMN_i=45°，且三点M，N₁，N₂在同一直线上，则x₀的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 由题意作出图形，存在点N，使得∠OMN=45°，从而圆心到MN的距离为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，由此能求出x₀的取值范围．

解答 解：由题意作出图形，
∵点M（x₀，1），
若在圆O：x²+y²=1上存在两个不同的点N_i（i=1，2），
使得∠OMN_i=45°，且三点M，N₁，N₂在同一直线上，
则存在点N，使得∠OMN=45°，
∴圆心到MN的距离为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，
圆中M′不满足题意，当MN⊥x轴时，满足题意，
∴x₀的取值范围是[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．