Question

19．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，f′（x）＞$\frac{1}{2}$恒成立，且f（3）=$\frac{9}{2}$，则不等式f（x²-2x）＜$\frac{1}{2}$（x²-2x）+3的解集为（-1，3）．

Answer 1

分析 令函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，由题意可得g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＞0，即g（x）在R上递增，且g（3）=3，原不等式化为g（x²-2x）＜g（3），运用单调性和二次不等式的解法即可得到解集．

解答 解：可设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，
由对任意的实数x，f′（x）＞$\frac{1}{2}$恒成立，可得
g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＞0，
即g（x）在R上递增，且g（3）=f（3）-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{2}$=3，
不等式f（x²-2x）＜$\frac{1}{2}$（x²-2x）+3，
即为f（x²-2x）-$\frac{1}{2}$（x²-2x）＜3，
即g（x²-2x）＜g（3），
由g（x）在R上递增，可得x²-2x＜3，
解得-1＜x＜3．
则解集为（-1，3）．
故答案为：（-1，3）．

点评 本题考查导数的运用：判断单调性，考查单调性的运用：解不等式，以及构造函数法，考查运算能力，属于中档题．