Question

14．已知向量$\overrightarrow a=（cos（\frac{π}{3}+α），1）$，$\overrightarrow b=（1，4）$，如果$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，那么$cos（\frac{π}{3}-2α）$的值为$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 利用两个向量共线的性质，诱导公式，求得sin（$\frac{π}{6}$-α）的值，再利用二倍角公式求得 $cos（\frac{π}{3}-2α）$=1-2${sin}^{2}（\frac{π}{6}-α）$ 的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（cos（\frac{π}{3}+α），1）$，$\overrightarrow b=（1，4）$，$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，
∴cos（$\frac{π}{3}$+α）•4-1•1=0，求得cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{1}{4}$，
即sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{1}{4}$，即sin（$\frac{π}{6}$-α）=$\frac{1}{4}$，
∴$cos（\frac{π}{3}-2α）$=1-2${sin}^{2}（\frac{π}{6}-α）$=1-2•$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{8}$，
故答案为：$\frac{7}{8}$．

点评 本题主要考查两个向量共线的性质，诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题．