Question

12．三次函数f（x）=$\frac{a}{3}$x³+bx²+cx+d，f'（x）-9x＜0的解集为（1，2）．
（1）若f'（x）+7a=0有两个相等的实数根，求f'（x）的解析式；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，f'（x）=ax²+2bx+c，由题意可知：ax²+（2b-9）x+c=0的两根为1，2且a＞0，列方程组，求得b和c与a的关系，由ax²+（9-3a）x+2a+7a=0，有两个实根，可知△=（9-3a）²+4a×9a=0，求得a的值，即可求得f'（x）的解析式；
（2）由（1）可知：f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，即f'（x）=ax²+（9-3a）x+2a≥0的解集为R，可知△=（9-3a）²-8a²≤0，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）设$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}+b{x^2}+cx+d$，求导则f'（x）=ax²+2bx+c，
∵f'（x）-9x＜0的解集为（1，2），
∴ax²+（2b-9）x+c=0的两根为1，2且a＞0，
故$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{9-2b}{a}=3}\\{\frac{c}{a}=2}\end{array}}\right.$，解得：2b=9-3a，c=2a
∴f'（x）+7a=0，即ax²+（9-3a）x+2a+7a=0，
∴ax²+（9-3a）x+9a=0，有两个相等的实数根，
∴△=（9-3a）²+4a×9a=0，整理得：a²+2a-3=0，解得a=1（a=-3舍去），
∴f'（x）=x²+6x+2
（2）∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增且a＞0，
∴f'（x）=ax²+（9-3a）x+2a≥0的解集为R，
∴△=（9-3a）²-8a²≤0，
即a²-54a+81≤0，解得$27-18\sqrt{2}≤a≤27+18\sqrt{2}$
a的取值范围：[$27-18\sqrt{2}，27+18\sqrt{2}$]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一元二次不等式的解法及根的存在性问题，一元二次不等式恒成立问题，考查计算能力，属于中档题．