Question

7．定义在实数集上的函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=x²+ax+a．
（1）求f（x）、g（x）的解析式；
（2）命题p：?x∈[1，2]，f（x）≥1，命题q：?x∈[-1，2]，g（x）≤-1，若p∨q为真，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性，联立方程组，解出函数的解析式即可；
（2）分别求出f（x），g（x）的最小值，根据复合命题的真假，求出a的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）+g（x）=x²+ax+a．①，
得f（-x）+g（-x）=x²-ax+a．
因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
所以f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），…（2分）
所以-f（x）+g（x）=x²-ax+a②，
①②联立得f（x）=ax，g（x）=x²+a．…（6分）
（2）若p真，则f_min（x）≥1，得a≥1，…（9分）
若q真，则g_min（x）≤-1，得a≤-1，…（12分）
因为p∨q为真，
所以a≥1或a≤-1．…（14分）

点评 本题考查了函数的奇偶性．考查函数的最值问题，考查复合命题的判断，是一道中档题．