题目内容
已知椭圆
的长轴长为
，离心率为
，
分别为其左右焦点．一动圆过点
，且与直线
相切．
（1）(ⅰ)求椭圆
的方程；（ⅱ)求动圆圆心轨迹
的方程；
（2）在曲线
上有四个不同的点
，满足
与
共线，
与
共线，且
，求四边形
面积的最小值．
（1）(ⅰ）
；（ⅱ）
；（2）. 四边形
面积的最小值为
.
【解析】
试题分析：（1）(ⅰ)由题意，
,再结合
解出
的值从而得到椭圆的标准方程；(ⅱ)由条件“动圆过点
，且与直线
相切”知动圆圆心到定点
的距离等于到定直线
的距离，且定点
不在定直线上，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线；
（2）由题设知直线
和直线
互相垂直相交于点，且分别与物抛线有两个交点，因此两直线的斜率均存在且不为零，所以解决问题的基本思路是以其中一条直线的斜率
为自变量，利用直线与抛物线相交的位置关系，将四边形的面积表示成直线斜率的函数，转化为函数的最值问题.
试题解析：（1）(ⅰ)由已知可得
则所求椭圆方程
3分
(ⅱ)由已知可得动圆圆心的轨迹为抛物线，且抛物线
的焦点为
，准线方程为
，则动圆圆心轨迹方程为 6分
（2）由题设知直线
的斜率均存在且不为零
设直线
的斜率为
,
则直线的方程为：
联立
消去
可得
8分
由抛物线这义可知：
10分
同理可得
11分
又
（当且仅当
时取到等号)
所以四边形面积的最小值为. 14分
考点：1、椭圆的标准方程；2、抛物线的定义与标准方程；3、直线与抛物线的位置关系综合.
是边长为2的正方形，
平面
，
,且
.
平面
;
平面
;
的体积。
的准线与椭圆
相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（ ）
B.
C.
D.
上递减
都不是偶函数
的一元二次函数
，设集合
，分别从集合P和Q中随机取一个数作为
和
有零点的概率；
上是增函数的概率。
上的函数
满足
，当
时
，则( )
，AB =3．
