Question

8．已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使f（x）＞0成立的x的取值范围为（-1，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 根据题意，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是减函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．

解答 解：根据题意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，
又由f（x）为偶函数，则g（-x）=$\frac{f（-x）}{{（-x）}^{2}}$=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，故g（x）为偶函数，
且g′（x）=$\frac{f′（x）•{x}^{2}-f（x）•（{x}^{2}）′}{{x}^{4}}$=$\frac{f′（x）•x-2f（x）}{{x}^{3}}$，
又由当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则当x＞0时，g′（x）＜0，
所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又f（1）=0，所以g（1）=$\frac{f（1）}{1}$=0，且g（x）为偶函数，
则有|x|＜1，解可得x∈（-1，0）∪（0，1）；
即g（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零，
则f（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零．
故答案为：（-1，0）∪（0，1）．

点评 本题考查导数与函数单调性的关系，关键是构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，想到通过构造函数解决．