题目内容
如图，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．
分析：（1）连接OE，OE∥PA，由直线与平面平行的判定定理，可证得PA∥平面BDE；
（2）由PO⊥底面ABCD，可得PO⊥BD；底面为正方形，可得BD⊥AC，由直线和平面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，可证得平面PAC⊥平面BDE．
（2）由PO⊥底面ABCD，可得PO⊥BD；底面为正方形，可得BD⊥AC，由直线和平面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，可证得平面PAC⊥平面BDE．
解答：证明：（1）如图，连接OE
∵O为AC中点，E为PC中点．
∴OE为△PAC的中位线
∴OE∥PA
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE
∴PA∥平面BDE．
（2）∵底面ABCD为正方形
∴BD⊥AC
∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PO⊥BD
∵PO?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面BDE
∴平面BDE⊥平面PAC
即平面PAC⊥平面BDE．
∵O为AC中点，E为PC中点．
∴OE为△PAC的中位线
∴OE∥PA
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE
∴PA∥平面BDE．
（2）∵底面ABCD为正方形
∴BD⊥AC
∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PO⊥BD
∵PO?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面BDE
∴平面BDE⊥平面PAC
即平面PAC⊥平面BDE．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定定理、直线和平面垂直的性质、直线和平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理．
练习册系列答案
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如图，O是正方形ABCD的中心，PO⊥面ABCD，E是PC的中点．