Question

1．已知x=1是函数f（x）=x^a+b的一个零点．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）+ln（1+e^-2x），且g（x）是偶函数，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的零点的定义，可得f（1）=0，解得b=-1，求出f（x）的导数，可得切线的斜率，求得a=2，进而得到f（x）的解析式；
（2）求出g（x）=x^a-1+ln（1+e^-2x），由g（x）为偶函数，可得g（-x）=g（x），化简整理，结合恒成立思想，可得a=1．

解答 解：（1）x=1是函数f（x）=x^a+b的一个零点，
可得f（1）=0，即1+b=0，解得b=-1．
f（x）的导数为f′（x）=ax^a-1，
可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为a=2，
则f（x）=x²-1；
（2）由（1）可得，g（x）=f（x）+ln（1+e^-2x）
=x^a-1+ln（1+e^-2x），
由g（x）为偶函数，可得：
g（-x）=g（x），
即（-x）^a-1+ln（1+e^2x）=x^a-1+ln（1+e^-2x），
即有（-x）^a-x^a+ln（1+e^2x）-ln（1+e^-2x）=0，
即为（-x）^a-x^a+ln$\frac{1+{e}^{2x}}{1+{e}^{-2x}}$=（-x）^a-x^a+lne^2x=0，
即有（-x）^a-x^a+2x=0，
由于上式对于x∈R恒成立，
可得a=1．
则实数a的值为1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查函数的零点问题及偶函数的定义的运用，考查运算能力，属于中档题．