Question

 

已知椭圆4x²＋y²＝1及直线l：y＝x＋m．

   （Ⅰ）当m为何值时，直线l与椭圆有公共点？

   （Ⅱ）若直线l被椭圆截得的线段长为，求直线的方程．

   （Ⅲ）若直线l与椭圆相交于A、B两点，是否存在m的值，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）把直线y＝x＋m代入4x²＋y²＝1得

         5x²＋2mx＋m²－1＝0     ①                              …………1分

∴△＝4m²－20（m²－1）＝－16m²＋20≥0

－≤m≤                                           …………2分

   （2）设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，

由①得，                                       …………3分

∴（x₁＋x₂）²－4x₁x₂＝         …………4分

∴＝  …………5分

解得m＝±                                                 …………6分

∴所求直线方程为y＝x±。                                   …………7分

   （3）设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，

由①得

若存在m的值，使得，则有              …………8分            …………9分，解得                                     …………10分

又由（1）直线和椭圆有公共点，需满足－≤m≤          …………11分

∵＜

∴存在满足题意                                       …………12分