Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足2S_n+a_n=1，等差数列{b_n}中，b₁=1，b₂=2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求证：c${\;}_{1}+{c}_{2}+{c}_{3}+…+{c}_{n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用数列{a_n}的前n项和2S_n+a_n=1再写一式，两式相减可得数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，从而可得数列{a_n}的通项公式；利用等差数列{b_n}中，b₁=1，b₂=2可得{b_n}的通项公式；
（2）c_n=a_n•b_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$．利用错位相减法，可得结论．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和2S_n+a_n=1，∴n≥2时，2S_n-1+a_n-1=1，
∴两式相减可得3a_n=a_n-1，
∵n=1时，2S₁+a₁=1，∴a₁=$\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$；
∵等差数列{b_n}中，b₁=1，b₂=2，
∴b_n=n；
（2）c_n=a_n•b_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
∴T_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$
∴$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$
两式相减可得$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{2n+3}{2×{3}^{n+1}}$
∴T_n=$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4×{3}^{n}}$＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于中档题．