Question

4．（1）求不等式a^2x-1＞a^x+2（a＞0，且a≠1）中x的取值范围（用集合表示）．
（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=$\sqrt{x}$+1，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数的性质，求底数a进行讨论，求解不等式．
（2）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（-x）=-f（x），当x＞0时，f（x）=$\sqrt{x}$+1，可求函数f（x）的解析式．

解答 解：（1）不等式a^2x-1＞a^x+2（a＞0，且a≠1），
∵当a＞1时，2x-1＞x+2，即x＞3．
当0＜a＜1时，2x-1＜x+2，即x＜3．
故不等式a^2x-1＞a^x+2（a＞0，且a≠1）的解集：
当a＞1时，{x|x＞3}，
当0＜a＜1时，{x|x＜3}
（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-x）=-f（x），f（0）=0；
当x＞0时，f（x）=$\sqrt{x}$+1，
当x＜0时，则-x＞0，
故得f（-x）=$\sqrt{-x}$+1，
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），即-f（x）=$\sqrt{-x}$+1，
∴f（x）=-$\sqrt{-x}$-1，
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}+1，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{-\sqrt{-x}-1，（x＜0）}\end{array}\right.$

点评 本题考查了指数函数的性质，求底数a进行讨论求解不等式的问题和分段函数解析式的求法．属于基础题．