Question

14．已知函数$f（x）=-lnx，g（x）=\frac{1}{x}-ax$，若在点（2，f（2））处的切线与g（x）在点（2，g（2））处的切线l平行．
（1）求直线l的方程；
（2）关于x的方程$f（x）+xg（x）=-\frac{3}{2}x+1-b$在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，即可解得a的值，再求出直线l即可．
（2）由题意可得即有$f（x）+xg（x）=-\frac{3}{2}x+1-b$在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．h（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b，求出导数，求得单调区间和极小值，也为最小值，可得m的不等式，即可得到m的范围

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{1}{x}$，g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-a，
∴，g′（2）=-$\frac{1}{4}$-a=f′（2）=-$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{4}$x，
∴g（2）=$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{4}$=0，
∴直线l的方程为x+2y-2=0．
（2）由题意，a=$\frac{1}{4}$，
∴1-$\frac{1}{4}$x²-lnx=-$\frac{3}{2}$x+1-b，
即$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b=0，
设h（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b，x∈[1，4]，
∴h′（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{2x}$，
令h′（x）=0，解得x₁=1，x₂=2，
当h′（x）＞0时，2＜x≤4，函数单调递增，
当h′（x）＜0时，即1≤x＜2，函数单调递减，
∴h（x）_极大值=h（1）=-b-$\frac{5}{4}$，h（x）_极小值=h（2）=ln2-b-$\frac{5}{4}$，h（4）=2ln2-b-2，
∵x的方程$f（x）+xg（x）=-\frac{3}{2}x+1-b$在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，
∴h（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（2）＜0}\\{h（4）≥0}\end{array}\right.$
得ln2-2＜b≤-$\frac{5}{4}$，（注意-$\frac{5}{4}$＜-1＜2ln2-2）
∴b的取值范围为（ln2-2，-$\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间、极值和最值，主要考查函数和方程的转化思想，属于中档题．