Question

13．已知函数f（x）=e^x+x²-x，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数的导数，判断函数的单调性，得到函数的最值，通过|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，求出k的范围即可．

解答 解：f'（x）=e^x+2x-1，当x＞0时，e^x＞1，f'（x）＞0；
当x=0时，f'（x）=0；当x＜0时，e^x＜1，f'（x）＜0，
所以f（x）在[-1，0）上单调递减，在[0，1]上单调递增．
所以f（x）_min=f（0）=1，
∵$f（1）-f（-1）=e-\frac{1}{e}-2＞0$，
∴f（x）_max=f（1）=e，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（0）=e-1，
可得k≥e-1．

点评 本题考查函数恒成立，函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．