Question

12．已知a，b∈R⁺，求证：（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}{b}$）≥4，并说明等号成立的条件．

Answer 1

分析 运用二元均值不等式：a+b≥2$\sqrt{ab}$（当且仅当a=b时取得等号），再由可乘性即可得到证明．

解答 证明：a，b∈R⁺，可得a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，
b+$\frac{1}{b}$≥2$\sqrt{b•\frac{1}{b}}$=2，
可得（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}{b}$）≥4，
当且仅当a=b=1时，取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用二元均值不等式，结合不等式性质，考查推理能力，属于基础题．