Question

17．从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．
（1）求X是奇数的概率；
（2）求X的概率分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，求出基本事件总数，X为所组成的三位数各位数字之和，求出X是奇数包含的基本事件个数，由此能求出X是奇数的概率．
（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，6，7，8，9，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望EX．

解答 解：（1）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，
基本事件总数为n=${C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}$=48，
X为所组成的三位数各位数字之和，X是奇数包含的基本事件个数：
若百位数字是1或3，则十位数字和个位数字只能取0，2，4中的两个数字，
满足条件的有：${C}_{2}^{1}{A}_{3}^{2}$=12，
若百位数字是2或4，则十位数字和个位数字只能取1或3，
满足条件的有：${C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}$=4，
∴X是奇数的概率p=$\frac{4}{48}$=$\frac{1}{12}$．
（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，6，7，8，9，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{4}{48}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{4}{48}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{8}{48}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$+$\frac{{A}_{3}^{3}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{10}{48}$，
P（X=7）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$+$\frac{{A}_{3}^{3}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{10}{48}$，
P（X=8）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{6}{48}$，
P（X=9）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{C}_{4}^{1}{A}_{4}^{2}}$=$\frac{6}{48}$，
∴X的分布列为：

X	3	4	5	6	7	8	9
P	$\frac{4}{48}$	$\frac{4}{48}$	$\frac{8}{48}$	$\frac{10}{48}$	$\frac{10}{48}$	$\frac{6}{48}$	$\frac{6}{48}$

数学期望E（X）=$3×\frac{4}{48}+4×\frac{4}{48}+5×\frac{8}{48}$+$6×\frac{10}{48}$+7×$\frac{10}{48}$+8×$\frac{6}{48}$+9×$\frac{6}{48}$=6.25．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．