Question

7．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}$（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{$\frac{2^n}{a_n}}$}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设b_n=2ⁿ+$\frac{1}{{n•{2^{n+1}}}}$•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由${a_{n+1}}=\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}（n∈N*）$，变形得$\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+{2^n}}}{a_n}=1+\frac{2^n}{a_n}$，利用等差数列的定义即可得出．
（II）利用等差数列的系统公司即可得出．
（III）${b_n}={2^n}+\frac{1}{{n•{2^{n+1}}}}•{a_n}={2^n}+\frac{1}{{n•{2^{n+1}}}}×\frac{2^n}{n+1}={2^n}+\frac{1}{2n（n+1）}$，利用“裂项求和方法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （I）证明：由${a_{n+1}}=\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}（n∈N*）$，变形得$\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+{2^n}}}{a_n}=1+\frac{2^n}{a_n}$，即$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=1．
∴数列$\left\{{\frac{2^n}{a_n}}\right\}$是等差数列．
（II）解：由（I）得$\frac{2^n}{a_n}=\frac{2}{a_1}+（n-1）×1$，a₁=1，$\frac{2^n}{a_n}=n+1$，
∴${a_n}=\frac{2^n}{n+1}$．
（III）解：${b_n}={2^n}+\frac{1}{{n•{2^{n+1}}}}•{a_n}={2^n}+\frac{1}{{n•{2^{n+1}}}}×\frac{2^n}{n+1}={2^n}+\frac{1}{2n（n+1）}$，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（2+\frac{1}{2×1×2}）+（{2^2}+\frac{1}{2×2×3}）+…+[{2^n}+\frac{1}{2n（n++1）}]$
=$（2+{2^2}+…+{2^n}）+\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）={2^{n+1}}-\frac{1}{2（n+1）}-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．