Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离．

 

 

Answer 1

(1)证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：(1) 由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BC，由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，所以BC⊥平面PCD，那么PC⊥BC；（2）利用等积法，先求出棱锥的体积V＝S△ABC·PD＝，再求出S△PBC＝，由S△PBC·h＝V＝，得h＝．

【解析】
(1)证明：∵ PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴ PD⊥BC． 1分

由∠BCD＝90°，得CD⊥BC． 3分

又PD∩DC＝D， PD，DC 平面PCD，

∴ BC⊥平面PCD． 5分

∵ PC 平面PCD，故PC⊥BC． 7分

(2)连接AC，设点A到平面PBC的距离为h．

∵ AB∥DC，∠BCD＝90°，∴ ∠ABC＝90°． 8分

由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1． 9分

由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积

V＝S△ABC·PD＝． 10分

∵ PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴ PD⊥DC． ....11分

又 ∴ PD＝DC＝1，∴ PC＝＝．由PC⊥BC，BC＝1，

得△PBC的面积S△PBC＝． .. ..12分

∵ VA - PBC＝VP - ABC，

∴ S△PBC·h＝V＝，得h＝． .13分

故点A到平面PBC的距离等于． 14分

考点：1.线、面之间的平行与垂直关系的判定与性质；2.三棱锥的体积.