Question

定义运算：例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x²(2x－x²)的最大值为________．

Answer 1

解　(1)∵当x>0，y>0时，f＝f(x)－f(y)，

∴令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.

(2)设x₁，x₂∈(0，＋∞)，且x₁<x₂，

则f(x₂)－f(x₁)＝f，

∵x₂>x₁>0，∴>1，∴f>0.

∴f(x₂)>f(x₁)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．

∴f(x)_min＝f(1)＝0，f(x)_max＝f(16)．

∵f(4)＝2，由f＝f(x)－f(y)，

知f＝f(16)－f(4)，∴f(16)＝2f(4)＝4，

∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．